A finales de 2017, Ashwin Sah y Mehtaab Sawhney se conocieron como estudiantes de pregrado en el Instituto de Tecnología de Massachusetts (MIT). Desde entonces, la pareja ha escrito 57 pruebas matemáticas juntos, muchas de las cuales representan avances significativos en diversos campos. Su prolífica colaboración ha llamado la atención de la comunidad matemática, y su último logro, anunciado en febrero de este año, es otro ejemplo de su impresionante trayectoria.
En esta ocasión, Sah y Sawhney, junto con James Leng, un estudiante de posgrado en la Universidad de California, Los Ángeles (UCLA), lograron una mejora muy esperada en la estimación de cuán grandes pueden ser los conjuntos de números enteros antes de que deban contener secuencias de números espaciados de manera uniforme, conocidas como progresiones aritméticas. Por ejemplo, conjuntos como {9, 19, 29, 39, 49} o {30, 60, 90, 120} representan este tipo de secuencias. La prueba que lograron es un avance importante en la comprensión de la imposibilidad matemática del desorden completo y marca el primer progreso en décadas en uno de los problemas más difíciles de la combinatoria.
“Es fenomenalmente impresionante que hayan logrado esto,” comentó Ben Green, matemático de la Universidad de Oxford. En el momento en que publicaron este trabajo, los tres investigadores todavía eran estudiantes de posgrado.
Las progresiones aritméticas, aunque son patrones simples, ocultan una complejidad matemática extraordinaria, y a menudo son imposibles de evitar, no importa cuánto lo intentes. La pregunta central de este campo, propuesta en 1936 por los matemáticos Paul Erdős y Pál Turán, sugiere que si un conjunto de números enteros contiene una fracción no nula de todos los números enteros, aunque sea una parte infinitesimal como el 0.00000001 por ciento, inevitablemente contendrá progresiones aritméticas de cualquier longitud. Las únicas excepciones son aquellos conjuntos que forman una fracción “negligible” de los números enteros. Un ejemplo de ello es el conjunto {2, 4, 8, 16, …}, en el cual cada número es el doble del anterior, y que está tan disperso en la línea numérica que no contiene ninguna progresión aritmética.
En 1975, Endre Szemerédi demostró esta conjetura, marcando un hito fundamental en la teoría de combinatoria. Su trabajo inspiró numerosas investigaciones posteriores y generó ideas que se han convertido en áreas completas de estudio. “Muchas de las ideas de su prueba han crecido hasta convertirse en mundos por sí solas,” afirmó Yufei Zhao, asesor doctoral de Sah y Sawhney en MIT.
Desde la demostración de Szemerédi, los matemáticos han seguido explorando la cuestión en el contexto de conjuntos finitos de números. En este caso, se empieza con un conjunto limitado: todos los números enteros entre 1 y un número N. La pregunta clave es: ¿cuál es la mayor fracción de este conjunto inicial que se puede usar antes de que sea inevitable incluir una progresión aritmética prohibida? ¿Y cómo cambia esa fracción a medida que N aumenta?
Por ejemplo, si N es 20, se puede usar hasta el 80 por ciento de ese conjunto de 20 números sin formar progresiones aritméticas de cinco términos o más. Pero si N es 1,000,000, sería imposible usar una fracción tan grande del conjunto. Mientras más grande sea el conjunto, menor será la fracción que se puede utilizar antes de incluir progresiones aritméticas largas.
Szemerédi fue el primero en demostrar que esta fracción debe reducirse a cero a medida que N crece. Desde entonces, los matemáticos han intentado cuantificar con precisión qué tan rápido ocurre esto. El año pasado, un avance realizado por dos científicos de la computación casi resolvió esta pregunta para progresiones aritméticas de tres términos, como {6, 11, 16}. Ahora, Sah, Sawhney y Leng han dado el siguiente paso al mejorar estimaciones para progresiones más largas, haciendo progresos en un problema que había permanecido sin avances significativos durante décadas.
La capacidad de Sah y Sawhney para abordar problemas matemáticos difíciles con una asombrosa consistencia ha dejado una profunda impresión en la comunidad matemática. Como señaló Zhao, “los problemas que enfrentan son desafiantes y requieren no solo habilidad técnica, sino también creatividad y persistencia.”