El infinito, ese concepto tan abstracto como fascinante, ha sido explorado y ordenado durante siglos por los matemáticos, pero parece que todavía guarda sorpresas. Un equipo de la Universidad Tecnológica de Viena ha identificado dos nuevos tipos de infinitos: los “cardinales exactos” y los “ultra exactos”, desafiando la teoría jerárquica establecida desde el siglo XIX por George Cantor. Este hallazgo podría trastocar las bases de la comprensión matemática del infinito y plantear interrogantes sobre axiomas fundamentales como el de elección.
El infinito, en su forma clásica, se explica con paradojas como el Hotel Hilbert, un experimento mental ideado por el matemático alemán David Hilbert. En este hotel con infinitas habitaciones, siempre se puede acomodar a nuevos huéspedes, incluso si llega un número infinito de turistas, demostrando que el concepto de “infinito” es más flexible de lo que parece. Sin embargo, en 1878, George Cantor estableció que no todos los infinitos son iguales: por ejemplo, el conjunto de los números reales es “más infinito” que el de los números naturales, una distinción basada en su densidad.
Sin embargo, Juan Aguilera, autor principal del nuevo estudio, explica que los “cardinales exactos” y los “ultra exactos” no encajan en la jerarquía actual del infinito, regida por la Teoría Axiomática de Zermelo-Fraenkel. “Estas nuevas dimensiones infinitas interactúan de una manera extraña con las nociones existentes, generando un caos en las reglas tradicionales”, afirma Aguilera en una entrevista con New Scientist.
Una casa con infinitas casas dentro
Para comprender su hallazgo, los investigadores comparan los nuevos infinitos con una casa que contiene copias exactas de sí misma y versiones reducidas de conjuntos más grandes, como si albergara también modelos del barrio o de la ciudad. Además, los “ultra exactos” incluyen reglas matemáticas que definen cómo construir dichas copias, lo que añade complejidad al problema y pone en jaque las bases de la teoría axiomática.
Este caos matemático tiene implicaciones mayores: uno de los axiomas centrales, el axioma de elección, establece que siempre es posible formar un conjunto nuevo eligiendo elementos de otro, incluso si no se especifica cómo. No obstante, algunos matemáticos sostienen que el axioma no se sostiene en el caso de infinitos particularmente densos.
¿El fin de la Conjetura de Hodge?
El descubrimiento de estos nuevos infinitos también sacude la Conjetura de Hodge, una de las hipótesis matemáticas más importantes y aún sin resolver. Gabriel Goldberg, matemático de la Universidad de Berkeley, advierte: “Si la existencia de cardinales exactos se acepta, la Conjetura de Hodge podría resultar falsa, y con ello se desmoronarían muchas suposiciones sobre los conjuntos infinitos”.
El infinito, lejos de ser una idea abstracta y resuelta, demuestra una vez más ser un territorio inexplorado y repleto de sorpresas, capaz de alterar las reglas del juego matemático y, quizás, abrir una nueva era en el estudio de lo incalculable.